Сочинение, в котором Шаль восстановил потерянный трактат Эвклида, называетсяLes trois livres des Porismes d'Euclide, rétablis pour la première fois, d'après la notice et les Lemmes de Pappus, et conformément au sentiment de R. Simson sur la forme de énoncés des ces propositions[100] (Три книги ЭвклидовыхПоризмов, восстановленные впервые на основании заметки иЛемм Паппа, и согласно с мнением Р. Симсона насчет формы выражения этих теорем.)
Мы заимствуем из этой замечательной книги все нижеследующееО поризмах.
«Между сочинениями греческих математиков, не дошедшими до нас, ни одно, – говорит Шаль, – не возбуждало стольких сожалений и любопытства геометров последних веков, как Эвклидов трактатО поризмах».
Это сочинение известно нам только по коротенькой заметке о нем в ПапповыхМатематических сборниках и весьма краткому упоминанию Прокла в егоКомментарии на первую книгу ЭвклидовыхНачал.
Папп, александрийский математик, жил в конце четвертого века нашей эры, стало быть, шестьсот или семьсот лет после Эвклида; но в то время еще существовали все сочинения великого геометра. Папп, под заглавием«Математические сборники», написал сочинение в четырех книгах, из коих, по несчастью, две первые уже не существуют. В этом сочинении он рассказывает о различных изысканиях древних во всех частях геометрии, о механике и т. п.
Заметка Паппа содержит два определения особого рода теорем, названных Эвклидомпоризмами, и до тридцати предложений, к ним относящихся; но, прибавляет г. Шаль, все это – в темных и сжатых выражениях, смысл которых напрасно старались проникнуть геометры разных времен, начиная со времени Возрождения.
Р. Симсон в своемТрактате о поризмах (составленном на основании заметки Паппа) делает следующее определение:Поризм есть теорема, в которой отыскивается предполагаемая вещь.
Данные могут быть величины или количества, линии или числа, или же положение линии, рассматриваемой как геометрическоеместо; или же еще положение точки, через которую проходит бесчисленное множество линий, рассматриваемых как переменные, или же, наконец, положение кривой, к которой все эти прямые – касательные.
Окружность круга есть место бесконечного числа точек, равноудаленных от одной точки, называемойцентром; эллиптическая кривая естьместо бесконечного ряда точек, таких, что сумма расстояния каждой из них от двух неподвижных точек, называемыхфокусами, равна постоянной прямой, называемойглавной осью ; парабола естьместо бесчисленного множества таких точек, что каждая из них равно удалена от неподвижной точки, называемойфокусом, и от прямой определенного положения, называемойнаправляющей, и т. д.
Папп говорит, чтоместа сутьпоризмы. Относительномест нет никакого сомнения, ибо форма их изложения вполне известна из многочисленных теорем оплоских местах Аполлония Пергейского, переданных нам Паппом. Этим Папп дал средство поверить предыдущее определениепоризмов и до некоторой степени определить природу ста семнадцати теорем, составлявших три книги ЭвклидовыхПоризмов.
По Паппу,поризмы относительно формы ни теоремы, ни задачи, а среднее между ними. Отсюда заключили, что у Эвклида предложения, называемыепоризмами, должны одновременно представлять природу теорем и задач.Поризмы, как определил. их Симсон, удовлетворяют этому условию. Места суть, стало быть,поризмы, как положительно говорит Папп.